[Gold IV] 거짓말 - 1043

문제 링크

성능 요약

메모리: 32544 KB, 시간: 40 ms

분류

그래프 이론, 자료 구조, 그래프 탐색, 분리 집합

문제 설명

지민이는 파티에 가서 이야기 하는 것을 좋아한다. 파티에 갈 때마다, 지민이는 지민이가 가장 좋아하는 이야기를 한다. 지민이는 그 이야기를 말할 때, 있는 그대로 진실로 말하거나 엄청나게 과장해서 말한다. 당연히 과장해서 이야기하는 것이 훨씬 더 재미있기 때문에, 되도록이면 과장해서 이야기하려고 한다. 하지만, 지민이는 거짓말쟁이로 알려지기는 싫어한다. 문제는 몇몇 사람들은 그 이야기의 진실을 안다는 것이다. 따라서 이런 사람들이 파티에 왔을 때는, 지민이는 진실을 이야기할 수 밖에 없다. 당연히, 어떤 사람이 어떤 파티에서는 진실을 듣고, 또다른 파티에서는 과장된 이야기를 들었을 때도 지민이는 거짓말쟁이로 알려지게 된다. 지민이는 이런 일을 모두 피해야 한다.

사람의 수 N이 주어진다. 그리고 그 이야기의 진실을 아는 사람이 주어진다. 그리고 각 파티에 오는 사람들의 번호가 주어진다. 지민이는 모든 파티에 참가해야 한다. 이때, 지민이가 거짓말쟁이로 알려지지 않으면서, 과장된 이야기를 할 수 있는 파티 개수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 사람의 수 N과 파티의 수 M이 주어진다.

둘째 줄에는 이야기의 진실을 아는 사람의 수와 번호가 주어진다. 진실을 아는 사람의 수가 먼저 주어지고 그 개수만큼 사람들의 번호가 주어진다. 사람들의 번호는 1부터 N까지의 수로 주어진다.

셋째 줄부터 M개의 줄에는 각 파티마다 오는 사람의 수와 번호가 같은 방식으로 주어진다.

N, M은 50 이하의 자연수이고, 진실을 아는 사람의 수는 0 이상 50 이하의 정수, 각 파티마다 오는 사람의 수는 1 이상 50 이하의 정수이다.

출력

첫째 줄에 문제의 정답을 출력한다.

---

문제 풀이

문제 분석

이 문제는 파티에 참석하는 사람들이 주어졌을 때, 진실을 아는 사람이 있는 파티에서는 진실을 말해야 하고, 그렇지 않은 파티에서는 과장된 이야기를 할 수 있다고 할 때, 과장된 이야기를 할 수 있는 파티의 최대 개수를 구하는 문제입니다. 즉, 진실을 아는 사람이 참석하는 파티와 연결된 모든 파티에서는 진실을 말해야 합니다.

접근 방법

이 문제는 분리 집합(Disjoint Set) 자료구조를 사용하여 해결할 수 있습니다.

1. 각 사람을 노드로 보고, 같은 파티에 참석한 사람들을 같은 집합으로 묶습니다.
2. 진실을 아는 사람이 속한 집합을 찾습니다.
3. 각 파티를 순회하면서, 해당 파티에 참석한 사람이 진실을 아는 사람이 속한 집합에 속하는지 확인합니다. 만약 속한다면, 그 파티에서는 과장된 이야기를 할 수 없습니다.
4. 과장된 이야기를 할 수 있는 파티의 개수를 세어 출력합니다.

구현 설명

1. 입력 및 초기화

• 사람 수 n과 파티 수 m을 입력받습니다.
• 진실을 아는 사람들의 번호를 입력받아 knows 집합에 저장합니다.
• parents 리스트를 초기화합니다. 이 리스트는 각 사람의 부모 노드를 저장하며, 초기에는 각 사람이 자기 자신을 부모로 가리키도록 설정합니다. 즉, 각 사람은 독립적인 집합에 속하게 됩니다.
• parties 리스트를 초기화합니다. 이 리스트는 각 파티에 참석하는 사람들의 번호 목록을 저장합니다.

2. Union 연산 수행

• 각 파티에 대해, 해당 파티에 참석한 사람들을 같은 집합으로 묶습니다. 이는 union 함수를 사용하여 수행됩니다.
  • union(a, b) 함수는 a와 b가 속한 집합을 합치는 역할을 합니다. 먼저 find(a)와 find(b)를 호출하여 각각의 루트 노드를 찾습니다. 만약 두 루트 노드가 다르다면, b의 부모를 a로 설정하여 두 집합을 합칩니다.
  • 이 과정을 모든 파티에 대해 수행함으로써, 같은 파티에 참석한 사람들은 모두 같은 집합에 속하게 됩니다.

3. 진실을 아는 사람의 집합 갱신

• knows에 있는 사람들의 대표 노드를 찾아서 knows를 갱신합니다. 이제 knows에는 진실을 아는 사람들의 집합의 대표 노드들이 저장됩니다.

4. 파티 순회 및 결과 계산

• 각 파티를 순회하면서, 해당 파티에 참석한 사람 중 한 명이라도 진실을 아는 사람이 속한 집합에 속하는지 확인합니다.
  • 만약 파티에 참석한 사람 중 한 명이라도 find(x) in knows를 만족한다면, 해당 파티에서는 과장된 이야기를 할 수 없습니다.
  • 만약 파티에 참석한 모든 사람이 진실을 아는 사람이 속한 집합에 속하지 않는다면, 해당 파티에서는 과장된 이야기를 할 수 있으며, answer를 1 증가시킵니다.

⏱복잡도 분석

• 시간 복잡도:
  • find 함수의 시간 복잡도는 경로 압축을 사용했으므로 거의 O(1)에 가깝습니다 (정확히는 amortized O(α(n)) 여기서 α(n)은 매우 느리게 증가하는 Ackermann 함수의 역함수).
  • union 함수의 시간 복잡도 또한 거의 O(1)입니다.
  • 파티의 수 m, 각 파티의 평균 참석자 수를 k라고 할 때, union 연산을 수행하는 데 O(mk) 시간이 걸립니다.
  • 각 파티를 순회하면서 진실을 아는 사람이 있는지 확인하는 데 O(mk) 시간이 걸립니다.
  • 따라서 전체 시간 복잡도는 O(mk)입니다. 문제에서 n과 m은 50이하의 수이기 때문에 시간 제한에 걸리지 않습니다.
• 공간 복잡도:
  • parents 리스트는 O(n)의 공간을 사용합니다.
  • knows 집합은 최대 O(n)의 공간을 사용합니다.
  • parties 리스트는 최대 O(m * k)의 공간을 사용합니다 (k는 파티당 평균 참석자 수).
  • 따라서 전체 공간 복잡도는 O(n + mk)입니다.

핵심 포인트

1. 분리 집합 활용: 같은 파티에 참석한 사람들을 같은 집합으로 묶어 진실을 아는 사람과 관련된 모든 사람들을 효과적으로 관리합니다.
2. Union-Find 최적화: 경로 압축을 사용하여 find 연산의 시간 복잡도를 상수 시간에 가깝게 만들어 전체 실행 시간을 단축합니다.
3. 진실을 아는 사람 기준: 파티에 참석한 사람들 중 한 명이라도 진실을 아는 사람과 같은 집합에 속하면, 해당 파티에서는 과장된 이야기를 할 수 없다는 점을 활용합니다.

풀이 코드

import sys

input = sys.stdin.readline

n,m = map(int, input().split())

x = list(map(int, input().split()))

knows = set(x[1:])
parents = [i for i in range(n + 1)]

def find(x):
    if parents[x] != x:
        parents[x] = find(parents[x])
    return parents[x]

def union(a,b):
    a, b = find(a), find(b)
    if a != b:
        parents[b] = a

parties = []
for i in range(m):
    x = list(map(int, input().split()))
    members = x[1:]
    parties.append(members)

    for i in range(1, len(members)):
        union(members[0], members[i])

knows = set(find(t) for t in knows)

answer = 0
for party in parties:
    for x in party:
        if find(x) in knows:
            break
    else:
        answer += 1

print(answer)